Méthodes Numériques pour la Physique

Alexandre Mayer

Master en Sciences Physiques

Table des matières :

1. Références et liens intéressants
2. Conseils généraux pour une programmation en Fortran 90
3. Programmation avec Octave / MATLAB
4. Mise en route
5. Résolution de systèmes linéaires
6. Interpolation
7. Quadratures numériques
8. Ajustements linéaires et optimisation
9. Intégration d'un système d'équations différentielles
10. Appendice

Références et liens intéressants

• Cours de programmation : Fortran 90
• Cours de méthodes numériques pour la physique
• Le site du compilateur GFORTRAN
• Ma page consacrée à GrWin / Ma page consacrée à LAPACK / Ma page consacrée à PGPLOT
• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2nd edition, Cambridge University Press (Cambridge, 1992).
• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 90, Cambridge University Press (Cambridge, 1996).

Conseils généraux pour une programmation en Fortran 90

La programmation se fera en Fortran 90. Les programmes seront les plus clairs possible. Vous veillerez en particulier à :

• définir un module kinds contenant les types de données ainsi qu'un module list_interface contenant les interfaces de toutes les sous-routines et fonctions utilisées;
• commencer obligatoirement vos programmes par les instructions use, l'instruction implicit none et les déclarations de variables;
• programmer de manière modulaire (utilisation de sous-routines) et propre (par l'utilisation de commentaires, d'indentations et en définissant toujours clairement le type des variables utilisées);
• permettre une généralisation facile du programme.

Nous utiliserons souvent des sous-routines du Numerical Recipes. Les interfaces de ces routines sont déjà définies dans le module nr. Elles utilisent en général les modules nrtype et nrutil qui seront expliqués plus tard. Il vous suffira d'inclure ces fichiers dans vos projets.

Pour certains exercices, nous utiliserons la librairie LAPACK. Cette librairie est plus performante que le Numerical Recipes.

Vous pouvez réaliser des graphes en Fortran 90 avec GrWin ou PGPLOT. Pour une visualisation rapide de vos résultats, j'ai préparé un exécutable GetPlot.exe. Il suffit de le lancer pour visionner d'un coup tous les fichiers de données dans le répertoire courant. Il produit par ailleurs les fichiers PostScript correspondants. Le lien suivant décrit le format des fichiers de données.

Voici un modèle de programme contenant des interfaces, fonctions et sous-routines. Il prépare un fichier pour utilisation avec GetPlot.exe. Vous devrez, dans tous vos programmes, utiliser la structure en modules de cet exemple. Pour chaque projet, vous me remettrez un listing de votre programme, les résultats obtenus ainsi que les réponses aux questions posées.

Le compilateur GFORTRAN

Pour travailler avec le GFORTRAN vous devez entrer dans une fenêtre d'invite de commandes. Vous trouverez ici les instructions pour compiler.

Pour compiler un projet constitué de plusieurs fichiers, il est plus pratique de faire un Makefile (on lance l'exécution du Makefile par l'instruction make).

Pour une utilisation plus avancée de ce compilateur, vous pouvez consulter la documentation.

Pour faire vos graphiques avec le GFORTRAN sous Windows, vous pouvez utiliser GrWin.

Les librairies LAPACK et PGPLOT ont été compilées avec le GFORTRAN. Vous trouverez les instructions d'installation en consultant mes liens.

Pour éditer vos fichiers, vous pourrez finalement utiliser JEdit ou Notepad++.

Programmation avec Octave / MATLAB

Vous trouverez sur ce site les fichiers d'installation.

Vous trouverez dans ce cours d'Octave les routines à utiliser pour les exercices qui suivent.

Mise en route avec un calcul de fractals

• Les fractals par le calcul d'un ensemble de Julia

Références

• H.-O. Peitgen, H. Jürgens and D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag (New York, 1992), chap. 10, 11 and 13.
• D.D. McCracken and W.S. Dorn, Numerical Methods and FORTRAN Programming, Wiley (New York, 1964), chap. 2.
• P.H. Sterbenz, Floating-Point Computation, Prentice-Hall (Englewood Cliffs, 1974), chap. 3.

1. Résolution de systèmes linéaires

• Les lois de Kirchhoff pour les circuits électriques

Référence

• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2nd edition, Cambridge University Press (Cambridge, 1992), chap. 2.

2. Interpolation

• Calcul du maximum de puissance débitée par une cellule photoélectrique

Référence

• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2nd edition, Cambridge University Press (Cambridge, 1992), chap. 3.

3. Quadratures numériques

• Intégration de fonctions

Référence

• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2nd edition, Cambridge University Press (Cambridge, 1992), chap. 4.

4. Ajustements linéaires et optimisation

• Ajustement linéaire général grâce à une décomposition SVD

Référence

• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2nd edition, Cambridge University Press (Cambridge, 1992), chap. 10.

5. Intégration d'un système d'équations différentielles

• Etude des oscillations d'un pendule excité

Références sur la résolution d'équations différentielles

• S.O.S. Mathematics : l'essentiel des mathématiques en ligne.
• A. Moussiaux, CONVODE : posez votre équation et recevez la solution sur votre boîte mail !
• W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Seventh Edition, John Wiley & Sons (New York, 2000).
• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2nd edition, Cambridge University Press (Cambridge, 1992), chap. 16 and 17.

Appendice

• Réaliser des graphiques avec la librairie PGPLOT